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Julio/Agosto 2010
Mediciones sucesivas

¿Qué significa "cero defectos"?

Parte 3 de 3: El muestreo de una población finita

P: ¿Cómo se manejan los casos de "cero defectos" o incumplimientos cuando se toman muestras de una población finita de elementos?

R. En este tercer artículo sobre el tema de los casos de cero defectos, analizamos el escenario en el cual la extracción de muestras se hace de un lote finito de elementos. En el contexto de muestreo de aceptación, esto se conoce como la extracción de muestras de un lote aislado.

Indicamos el tamaño del lote con N y el de la muestra con n. La extracción de muestras se hace en forma aleatoria y sin reposición. Supongamos que D es la cantidad no conocida posible de elementos no conformes que el lote tenía en un principio. Cuando se haya tomado la muestra y encontremos que x = 0 elementos no conformes, la pregunta es: ¿Cuál es el mayor valor que podría tener D con alguna confianza dada, C? El valor de este límite superior se designa como Du. Una vez que encontramos este valor, entonces podremos expresar que DDu con un nivel de confianza C. Entonces Du es el límite superior para una confianza del 100% para la incógnita D.

También podríamos tener un riesgo para el consumidor de, supongamos, β. Esto quiere decir que si se inspecciona un elemento no conforme, hay una probabilidad equivalente a β de que se clasifique mal al elemento como conforme y, de ahí, que haya un riesgo para el consumidor de b de que el elemento no conforme no sea detectado durante la inspección. Suponemos además en esta discusión que el riesgo de que el productor clasifique mal un elemento conforme como no conforme es α = 0. (Para obtener más información sobre este tema, consulte la norma E2334 de la ASTM, Método para establecer un límite máximo de confianza para una fracción o número de elementos no conformes, o una Tasa de ocurrencia de incumplimientos, mediante el uso de datos de atributos, cuando no se obtengan respuestas de la muestra).

La distribución estadística que rige este tipo de muestreo es la distribución hipergeométrica (consulte la referencia). Si usamos los parámetros descritos anteriormente y suponemos que β = 0, y reemplazamos x = 0 en la fórmula hipergeométrica, la siguiente expresión podría ser enunciada para la probabilidad de x = 0 conforme a simplificación.

Como en los casos de las Partes 1 y 2 de esta serie de artículos de la columna DataPoints (Mediciones), queremos que esta probabilidad tenga un valor bajo pero razonable (como por ejemplo, 0,05 o 0,01). Aplicamos esto cuando usamos P(x = 0) = 1 - C para un nivel de confianza elegido C. En la Ecuación 1, reemplace D por Du y que sea igual a 1 - C. Entonces, la Ecuación 1 quedaría así:

La Ecuación 2 deberá resolverse numéricamente para Du.

Ejemplo 1

Supongamos que N = 60, y n = 15 y queremos definir que DDu con una confianza del 95% como mínimo. Si reemplazamos en la Ecuación 2 con N = 60 y n = 15, y aumentamos Du hasta lograr alcanzar C ³ 0,95, da Du = 10. La confianza real alcanzada en este ejemplo es del 95,8%. Con esta confianza, podemos expresar que D ≤ 10. El “10” es el mayor valor que pudo haber tenido D si resultara que x = 0 en la muestra y si usamos la confianza especificada. Hay una probabilidad del 4,2% aproximadamente de que D podría haber sido mayor a 10 y, por lo tanto, una confianza del 95,8% de que D no vale más de 10.

Cuando hay en juego un riesgo del consumidor diferente a cero, β, el acontecimiento x = 0 puede darse de dos maneras: 1) la muestra puede realmente no contener ningún elemento que no sea conforme y 2) la muestra puede contener algunos elementos no conformes que hayan sido mal clasificados como conformes debido a la probabilidad β de riesgo del consumidor. Esto complica la solución a P(x = 0) = 1 - C.

Básicamente, P(x = 0) incluye el acontecimiento de que todos los elementos que contenga la muestra sean realmente conformes, el acontecimiento de exactamente 1 elemento no conforme mal clasificado, exactamente 2 elementos no conformes mal clasificados, etc., en todos los casos posibles. Supongamos que P(r) es la probabilidad de que aparezcan exactamente r elementos no conformes en la muestra sin ningún riesgo del consumidor, o sea, β = 0. La variable r puede estar entre 0 y valor máximo de D y n. P(r) es la expresión para la distribución hipergeométrica:

Tenga en cuenta que cuando r = 0, la Ecuación 3 es igual a la Ecuación 1. La expresión para P(x = 0) puede resultar ser:

Haga que la Ecuación 4 sea igual a 1 - C y resuélvala numéricamente aumentando D hasta alcanzar la igualdad. Este proceso nos da el límite superior Du para D.

Ejemplo 2

Dato conocido: La misma N y n como en el Ejemplo 1, pero esta vez con un riesgo para el consumidor de β = 0,1. Si usamos la Ecuación 4 con una confianza del  95% y aumentamos D hasta lograr 1 - C = 0,05, indica que Du = 12. El nivel de confianza real alcanzado en este ejemplo es del 95,8%. Con esta confianza, podemos expresar que D ≤ 12.

Estos cálculos pueden llegar a demandar un uso intensivo de cómputos y casi siempre exigen un programa de computación. Para los lotes y las muestras de tamaño pequeño, sirve usar un programa del tipo de hoja de cálculo; caso contrario, podrían hacer falta otras herramientas. A veces suele ser desconcertante descubrir que un lote pequeño puede aún tener algunas unidades no conformes a pesar de que la muestra sea relativamente grande. El último ejemplo ilustra esto.

Ejemplo 3

En un lote de N = 10 elementos, n = 5 se inspeccionan para un atributo crítico con un dispositivo electrónico. No se encuentra ningún incumplimiento, o sea, x = 0. Se determinó que el riesgo del consumidor del dispositivo de inspección fuera del 5%. ¿Cuál es la mayor cantidad de elementos no conformes que podría seguir habiendo en los 5 elementos que quedan sin inspeccionar? Si usamos una confianza del 90%, y la metodología descrita anteriormente, la respuesta es 3. La confianza real lograda es del 90,3 %. Así, el límite superior de confianza del 90,3% en la cantidad restante de elementos no conformes es igual a 3. A efectos de realizar una comparación, si el riesgo del consumidor fuera 0, el límite superior seguiría siendo 3, pero con una confianza del 91,7%.

Referencias
Hogg, R. V. y Tannis, E., Probabilidad e inferencia estadística, 7ma. edición, Pearson-Prentice Hall, 2005.

Stephen N. Luko, de Pratt & Whitney Aircraft, es el anterior presidente del Comité E11 sobre calidad y estadísticas y es miembro de ASTM International.

Dean V. Neubauer, de Corning Inc., es el vicepresidente del Comité E11 sobre calidad y estadísticas, el presidente del Subcomité E11.30 sobre control de calidad estadístico y el presidente del E11.90.03 sobre publicaciones; también coordina la columna DataPoints (Mediciones) y es miembro de ASTM International.

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